<학습 목표>
행렬과 관련된 용어
일차연립방정식을 행렬로
기본행연산
행제형 , 소거행제형 행렬
가우스 소거법, 가우스 - 조르단 소거법
벡터를 여러개 배열하면 행렬
벡터는 n차원 벡터가 있음
일차연립방정식을 행렬로 표현할 수 있음
Ax = B
계수들을 뜯어서 A 행렬
미지수들을 세로로 배열 x
가우스 소거법(전 시간에 다룬 소거법) 을 활용해서 행렬로만 간편히 표현할 수 있음
그러한 연산법을 기본행 연산이라고 함
- 기본행연산에는 세종류가 있음
연산이 간편해지는 모양을 가진 행렬을 행제형 행렬이라고 함.
가우스 소거법
가우스 - 조르단 소거법
행렬
행과 열로 구성되는 사각형 형태의 수의 배열
행(가로) 열(세로)
계수행렬 x 미지수행렬 = 상수행렬
의 형태로 n원 일차연립방정식을 표현한 것
AX = B
계수행렬과 상수행렬을 붙여놓은 것은 확대행렬 (A바B 로표현)
마지막 결과물 행제형 행렬.
기본행 연산
방정식에 관한 기본연산 => 기본행 연산
(두 방정식의 교환 )
=> 두 행을 교환할 수 있다.
기호 : R i, j
(0이 아닌 임의의 상수를 곱한다)
=> 한 행에 0이 아닌 임의 상수를 곱한다.
기호 : Ri (c)
(어떤 방정식에 임의의 상수를 곱해서 다른 방정식에 더한다)
=> 한 행에 임의의 상수를 곱해서 다른 행에 더한다
기호 : R i,j (c)
위와 같이 기호로 표현할 수 있다.
A에 여러 번의 기본 행 연산을 적용해서 행렬 B가 나올 수 있다면
A와 B는 row-equivalent 행 상등 하다고 하다.
theorum : L1, L2 (일차연립방정식) 의 확대행렬 A, B가 행상등하면. 두 일차연립방정식은 상등하다.
행제형행렬
(사다리 제)
row echelon matrix
1. 영행이 있다면 그것은 영행이 아닌 행의 아래에 있다.
2. 영행이 아닌 행의 첫번째 0이 아닌 원소를 '선도원소' , 모든 선도원소는 1이다.
3. 영행이 아닌 연속된 두 행이 있어 각각 i번째 행과 i+1번째 행이라 할때 i번쨰 행의 선도원소는 i+1번째 행의 선도원소보다 왼쪽에 있다.
소거행제형행렬
위 세가지 조건에
+ i 번쨰 행의 선도 원소가 j번째 열에 있다면 , j 번째 열의 다른 모든 원소는 0이다.
0 1 2 6
0 0 1 4 3번열의 2 때문에 안됨. R 2,1 (-2) 해야함. (2번행에 -2 를 곱한 후 1번째 행에 더함)
0 0 0 0
결과적으로 0 1 0 -2
0 0 1 4
0 0 0 0
영행렬은 행제형이면서, 소거행제형이다.
소거행제형, 행제형 구분하기
가우스 소거법
기본행연산을 통해 구한 '행제형 행렬' 을 구한 후 '후진대입법 사용
가우스 조르단 소거법
소거행제형 행렬을 구한후 "바로" 해를 구함
<가우스 소거법>
1 2 1 7 => R1,3(-2) => 1 2 1 7 =========> R2,3(4) ==> 1 2 1 7
0 1 1 3 0 1 1 3 0 1 1 3
2 0 -1 4 0 -4 -3 -10 0 0 1 2
(확대행렬) ================================== > (행제형행렬)
결과물의 행제형 행렬에서 z가 바로 2로 나옴. 후진대입법으로 y도 구하고 x도 구함
<가우스 -조르단 소거법>
위 과정에서 더 나아가 소거행제형을 만들어줌
R3,2 (-1) 1 0 0 3
그리고 거기에 R2,1(-2) 까지 하면 0 1 0 1
R3,1(-1) 0 0 1 2
이렇게 하면 후진대입 없이 바로 x, y, z 를 구할 수 있음
연습 문제 (일부 변형 )
1 2 3 6
0 1 -2 -1
을 가우스 조르단 소거법으로 풀기
이미 선도원소 1인 상태로 잘 배열되어 있음 . 행제형임
소거행제형만 만들어주면 됨
R 2, 1(-2) 하면
1 0 7 8
0 1 -2 -1
소거행제형이라고 할 수 있음
(행제형에다가 , 선도원소가 있는 열 위아래로 비어있음)
풀다가 보니 뭔가 이상했는데 '자유변수' 라는 개념이 나옴
Chat GPT에게 물어보니 다음과 같은 답을 얻을 수 있었음
가우스-조르단 소거법을 이용하여 주어진 확대 행렬에서 연립방정식의 해를 구하는 과정을 단계별로 설명하겠습니다.
주어진 확대 행렬:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 6 \\
0 & 1 & -2 & -1 \\
\end{pmatrix}
\]
### 1. 행렬의 형태 이해하기
이 행렬은 다음과 같은 연립 방정식 시스템을 나타냅니다:
\[
\begin{aligned}
1x_1 + 2x_2 + 3x_3 &= 6 \\
0x_1 + 1x_2 - 2x_3 &= -1 \\
\end{aligned}
\]
즉, 두 개의 식으로 이루어진 3개의 변수를 포함한 연립 방정식입니다.
### 2. 가우스-조르단 소거법 적용
가우스-조르단 소거법의 목표는 행렬을 **단위행렬**(Identity Matrix)의 형태로 변환하여 해를 직접 구하는 것입니다.
#### Step 1: 첫 번째 피벗은 이미 1
첫 번째 피벗 원소는 이미 1입니다(행렬의 \(a_{11}\) 위치에 있는 값). 따라서 첫 번째 행에서 추가 작업은 필요 없습니다.
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 6 \\
0 & 1 & -2 & -1 \\
\end{pmatrix}
\]
#### Step 2: 두 번째 피벗도 이미 1
두 번째 피벗(두 번째 행, 두 번째 열의 값)도 이미 1입니다. 역시 추가 작업이 필요 없습니다.
#### Step 3: 피벗 열을 제외한 다른 열들을 0으로 만들기
이제 두 번째 행의 피벗 열을 제외한 위쪽 행을 0으로 만들어야 합니다. 즉, 첫 번째 행의 두 번째 열을 0으로 만들어야 합니다. 이를 위해 두 번째 행의 2배를 첫 번째 행에서 빼줍니다:
- 첫 번째 행 = 첫 번째 행 - 2 * 두 번째 행
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 6 \\
0 & 1 & -2 & -1 \\
\end{pmatrix}
\quad \longrightarrow \quad
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 7 & 8 \\
0 & 1 & -2 & -1 \\
\end{pmatrix}
\]
이제 행렬이 상삼각행렬의 형태로 되었고, 추가적으로 가우스-조르단 소거법의 결과로 단위행렬이 만들어졌습니다.
### 3. 해 구하기
이제 이 행렬에서 연립방정식의 해를 구할 수 있습니다. 행렬은 다음과 같은 두 개의 방정식을 나타냅니다:
\[
\begin{aligned}
x_1 + 7x_3 &= 8 \\
x_2 - 2x_3 &= -1 \\
\end{aligned}
\]
#### 자유변수 선택
여기서 \(x_3\)는 **자유변수**입니다. 즉, \(x_3 = t\)라고 두고 해를 표현할 수 있습니다.
#### 방정식 풀이:
1. \(x_1 = 8 - 7t\)
2. \(x_2 = -1 + 2t\)
3. \(x_3 = t\)
### 4. 일반 해 구하기
따라서 이 연립방정식의 해는 다음과 같이 매개변수 \(t\)로 표현할 수 있습니다:
\[
\begin{aligned}
x_1 &= 8 - 7t \\
x_2 &= -1 + 2t \\
x_3 &= t \\
\end{aligned}
\]
즉, 해의 집합은 다음과 같습니다:
\[
\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
\]
여기서 \(t\)는 임의의 실수입니다.
### 결론
가우스-조르단 소거법을 사용하여 주어진 연립방정식의 해를 구한 결과는 매개변수 \(t\)에 따라 표현되는 무수히 많은 해입니다. 이는 **자유변수** \(t\)에 의해 나타나는 해로, 해의 일반형은 위에서 구한 것처럼 두 벡터의 선형 결합으로 나타납니다.
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