<선형대수> 3강

3강 정리 (개인적인 목적으로 정리한 것입니다)

 

 

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닫혀있다 . 더해서, 곱해서 M의 원소이다. (M 집합)

 

덧셈의 항등원 더해서 같은값나오게 만드는 것 

곱셈의 항등원 곱해서 같은 값 나오게 

 

덧셈의 역원 더해서 0이 나오게 하는것(항등원이나오게하는 것) -a 

곱셈의 역원 곱해서 1(곱셈의 항등원) 1/a 

 

수 집합의 확장

실수 / 벡터 / 행렬 / 명제 / 함수 / 집합 등

덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 

 

행렬의 합

행렬의 스칼라곱

행렬의 곱

행렬의 전치 

 

m*n 행렬 A

 

 

m=n(즉 정사각형일때), 정방행렬 이라고함

n차 정방행렬. 

 

aii(11, 22, 33, 44 ..) 를 주대각원소(성분)이라고 함

 

n차 정방행렬 중 , 

 

주대각성분을 제외한 모든 성분이 0이 아니다. 대각행렬 

 

주대각성분이 모두 상수 c 로 같다면 스칼라 행렬 

스칼라행렬 중 , c가 1이라면(주대각성분이 1이라면) 단위행렬 

 

삼각행렬

하삼각행렬( 위가 0 , 아래쪽이 0이 아님, )

상삼각행렬(아래가 0, 위가 0이 아님)

 

 

우선 벡터의 상등을 예시로 들면, 

 

v = (a1, a2)

w =(b1, b2) 

 

v=w

크기가 같아야한다. 

성분이 동일 

(벡터의 상등) 

 

행렬의 상등 

둘의 크기가 m*n으로 같아야한다.

그럴 떄 모든 i,j에 대해

aij = bij 인경우

 

A와B는 서로 같다. 혹은 상등하다. 

 

행렬의 합

(두 행렬의 크기가 같을 때, 합의 결과 C 또한 m*n의 행렬인데 )

cij = aij + bij 

 

<합의성질 of 행렬>

덧셈의 교환법칙

결합법칙

항등원 O(영행렬) 존재함 

행렬 A + D = O 를 만족하는 행렬 D를 -A라고하고, A의 음행렬(덧셈에 관한 역원)이라고함 

 

cf.

벡터의 스칼라곱

 

행렬의 스칼라곱도 벡터의 스칼라곱과 같이

모든 원소에 임의의 수 c를 곱한 다. 

 

이를 cA 로표현할 수 있다.

cA = (caij) 로 표현 가능함 

 

(c+d) A = cA + dA

c(A+B) = cA + cB

c(dA) = (cd)A

1A  = A 

 

행렬의 곱 조건

m*p 행렬 에 p*n 으로 존재해야 곱할 수 있음

 

 

벡터의 내적 개념

 

시그마 ki~n 까지 aibi 가 A와 B의 내적이 됨 

 

이러한 개념을 

행렬의 곱에 적용할 수 있음 

 

좌측의 행벡터와 우측의 열벡터의 내적 

이 결과 행렬의 원소값이 됨

 

 

AB 는 정의되지만

BA가 안되는 경우가 네가지가 있음

 

1. n 이랑 m이랑 다른 경우

2. BA가 정의가되는데(곱할수 '는 ' ) 있는데 AB와 크기가 다른경우 즉, AB는 4차인데, BA는 6차 정방행렬인 경우

3. BA가 정의되고, AB와 크기도 같지만 AB =! BA 인경우 

4. 마지막으로는 같은 때도 있다. BA = AB 

 

따라서 곱의 교환법칙이 성립되지 않는다. 

 

다만!, 

A =! O , B =! O 이지만 AB=O인 경우가 있다. 

 

행렬의 곱의 성질 

 

결합 / 분배 는 가능함

 

스칼라배는 따로 뺴서 결합할 수있음

 

 

행렬곱의 항등원 

 

임의의 수 a에 대해

1a = a1 = a

즉

IA = AI = A

가되는 것을 단위행렬 

즉 단위행렬은 행렬 곱의 항등원 

 

 

n차 정방행렬 A의 거듭 제곱 할 수 있음

A*A*A ... 

 

A의 0승도 정의할 수 있음

 

행렬의 전치연산 

 

이항연산 (피연산자가 두개)

일항연산 (집합 A의 여집합 등) 

 

m * n 행렬 A 의 전치행렬 

n * m 행렬 A 첨자 T 라고 함 

a ij의 위치를 aji로 바꿈 

 

 

 

 덧셈과 전치연산 중 무엇을 먼저해도 상관 없음 

 

At의 t는 A

 

A+B의 전체 t는 At + Bt 와 같다. 

 

**중요

(AB)의 T는 BtAt 이다. (얘는 순서가 반대임) 

행과 열의 줄 수 때문에 발생하는 문제같음 

 

대칭행렬

원래행렬과 그것의 전치행렬이 같을 때 대칭행렬 이라고 함

그러려면

1. 정방행렬 이어야 함 (n * n이어야 전치가 n*n이되니까)

2. aij=aji를 만족해야함 

(주대각원소를 기준으로 대칭되는 위치의 행렬원소가 같아야함) 

 

 

 

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곱행렬의 특이성질

(분배 , 결합은 성립)

 

특이성질 

1) AB =! BA

2) A =! 0, B =! 0 일때, AB = 0인 경우 존재

3) A =! 0, B =! C 일떄, AB =AC 인 경우 존재